흐름장

강물을 보는 방법은 두 가지다. 물에 뜬 나뭇잎 하나를 골라 떠내려가는 대로 눈으로 좇을 수도 있고, 다리 위에 서서 교각 옆을 지나가는 물을 계속 지켜볼 수도 있다. 앞의 방법은 물 한 덩어리가 겪는 일을 처음부터 끝까지 따라가고, 뒤의 방법은 한 자리를 지나가는 것을 기록한다. 같은 강을 보는데도 두 사람이 적는 숫자는 다르다. 이 장은 그 차이에서 방정식의 한 항이 나온다는 것을 보인다.

모든 점에 붙은 화살표

유체역학은 대개 두 번째 방법을 쓴다. 공간의 모든 점에 매 순간 그 자리를 지나는 물의 속도를 하나씩 붙여 둔다. 이것을 흐름장(속도장)이라 하고 $\vel{\mathbf{u}(\mathbf{x},t)}$로 쓴다. 위치 $\mathbf{x}$와 시각 $t$를 넣으면 그 자리, 그 순간의 속도가 화살표 하나로 나온다. 페이지 맨 위 방정식 막대의 맨 왼쪽에 있는 것이 이 흐름장이다.

곁주석

이 교재에서 입자는 분자 하나가 아니다. 눈에 보이지 않을 만큼 작지만 분자가 아주 많이 든 유체 덩어리다. 그래서 덩어리마다 속도와 압력을 하나씩 말할 수 있다. 이것을 연속체 가정이라 한다.

흐름장을 알면 입자가 어떻게 움직이는지도 안다. 어느 순간이든 입자의 속도는 입자가 있는 자리의 흐름장 속도이기 때문이다. 그러니 두 방법은 같은 흐름을 다르게 적을 뿐이다. 입자를 따라가는 쪽을 라그랑주 관점, 한 점을 지켜보는 쪽을 오일러 관점이라 부른다.

따라가며 보기와 한 점에서 보기

좁아졌다가 다시 넓어지는 관으로 물이 흐른다고 하자. 관의 어느 단면에서나 같은 시간에 같은 양의 물이 지나가므로, 폭이 좁은 목에서는 물이 더 빨라야 한다. 들어온 만큼 나가야 한다는 이 규칙은 2장에서 자세히 다룬다. 흐름 자체는 시간이 지나도 그대로다. 아래 실험에서 하늘색 고리는 한 점에 머물고, 노란 입자는 물을 따라 흘러간다. 왼쪽 위 그래프는 두 속력을 시간에 따라 그린다.

‘처음부터’를 눌러 처음 몇 초를 보자. 고리에서 잰 속력은 시간이 지나도 변하지 않는다. 흐름이 그대로이니 당연하다. 그런데 노란 입자의 속력은 목으로 다가갈수록 오르고, 목을 지나면 다시 내려간다. 흐름은 조금도 바뀌지 않았는데 입자는 가속했다. 입자가 속력이 다른 곳으로 자리를 옮겼기 때문이다.

곁주석

이 실험의 흐름은 시뮬레이션이 아니라, 물의 부피가 보존되도록 정해 둔 식으로 그렸다. 운동 방정식을 푼 흐름은 아니다. 관의 반폭이 $h(x)$이면 중심선의 속력을 $h$에 반비례하게 두고, 물이 생기거나 사라지지 않도록 가로지르는 속도를 맞췄다. 점성은 넣지 않아서 물이 벽을 따라 미끄러진다. 실제 물은 벽에 붙어 멈춘다(4장). 입자는 이 식의 속도를 따라 1/60초마다 4차 룽게-쿠타 방법으로 움직인다.

입자가 고리를 지나는 순간을 눈여겨보자. 그 순간 둘은 같은 자리에 있으므로 속도도 같다. 그래도 그래프의 기울기는 다르다. 고리의 선은 평평하고 입자의 선은 오르막이다. 같은 자리, 같은 속도인데 변하는 빠르기가 다르다. 이 차이가 이 장의 주인공이다.

‘좁아짐’은 입구 폭이 목 폭의 몇 배인지를 나타낸다. 이것을 1로 내려 관을 곧게 펴면 입자의 속력도 변하지 않는다. 대신 ‘출렁임’을 올리면 흐름 전체가 시간에 따라 빨라졌다 느려졌다 한다. 그러면 고리에서 잰 속력도 출렁인다. 관이 곧은 채로 출렁이게 하면 입자와 고리의 그래프가 한 선으로 겹친다.

물질 도함수

입자의 속도가 짧은 시간 $\Delta t$ 동안 얼마나 바뀌는지 따져 보자. 속도의 두 성분을 $\mathbf{u} = (u, v)$로 쓴다. 바뀌는 까닭은 두 가지다. 첫째, 입자가 제자리에 머물더라도 그 자리의 흐름이 시간에 따라 바뀔 수 있다. 이 몫은 $\partial\mathbf{u}/\partial t$에 $\Delta t$를 곱한 만큼이다. 둘째, 그동안 입자는 가로로 $u\,\Delta t$, 세로로 $v\,\Delta t$만큼 움직여 속도가 다른 자리로 간다. 이 몫은 움직인 거리에 거리당 속도 변화를 곱한 것이다. 둘을 더하면 다음과 같다.

$$\Delta\mathbf{u} \approx \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\,\Delta t + u\,\Delta t\,\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial x} + v\,\Delta t\,\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial y}$$

양변을 $\Delta t$로 나누고 $\Delta t$를 0으로 보내면 입자가 겪는 가속도가 나온다. 이것을 물질 도함수라 하고 $D/Dt$로 쓴다.

$$\mat{\frac{D\mathbf{u}}{Dt}} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \adv{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}$$

여기서 $\mathbf{u}\cdot\nabla$는 $u\,\partial/\partial x + v\,\partial/\partial y$를 줄여 쓴 것이다. 어떤 양에 이 연산을 적용하면, 그 양이 흐름 방향으로 거리당 얼마나 변하는지에 속력을 곱한 값이 나온다. 오른쪽 첫째 항 $\partial\mathbf{u}/\partial t$는 고리가 보는 변화이고, 둘째 항 $\adv{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}$는 입자가 자리를 옮기며 겪는 변화이고, 이류 항이라 부른다. 실험을 처음 열었을 때의 관에서는 흐름이 시간에 따라 변하지 않으므로 첫째 항이 0이고, 입자의 가속은 모두 둘째 항에서 나온다. 관을 곧게 펴면 둘째 항이 0이 되고, 출렁임을 넣으면 첫째 항이 살아난다.

곁주석

$D/Dt$는 입자를 따라가며 시간으로 미분한다는 뜻이다. 속도가 아닌 양에도 쓴다. 온도 $T$라면 다음과 같다.

$$\frac{DT}{Dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)T$$

뉴턴의 제2법칙 $\mathbf{F} = m\mathbf{a}$에서 가속도 $\mathbf{a}$는 물체를 따라가며 잰 값이다. 유체도 다르지 않다. 유체 입자에 뉴턴의 법칙을 쓰려면 $\mat{D\mathbf{u}/Dt}$가 필요하다. 그래서 나비에-스토크스 방정식의 왼쪽은 $\mat{D\mathbf{u}/Dt}$이고, 오른쪽에는 입자를 미는 힘이 단위 질량당 값으로 들어간다. 압력, 점성, 바깥에서 주는 힘이다.

$$\mat{\frac{D\mathbf{u}}{Dt}} = \prs{-\frac{\nabla p}{\rho}} + \vis{\nu\nabla^2\mathbf{u}} + \frc{\mathbf{f}}$$

이 교재는 3장에서 압력을, 4장에서 점성을 차례로 채운다. 바깥에서 주는 힘은 0장에서 물을 저으며 이미 써 보았다.

$\adv{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}$에는 속도가 두 번 들어 있다. 흐름이 자기 자신을 실어 나른다는 뜻이고, 그래서 이 항은 비선형이다. 소용돌이 한 쌍이 스스로 앞으로 나아가는 일도, 흐름이 난류로 바뀌는 일도 이 항이 있어야 일어난다. 5장에서 이 항만 켜 놓고 살펴본다.

유선, 유적선, 유맥선

흐름을 선으로 그리는 방법도 세 가지다.

• 유선은 한 순간의 흐름장에서 화살표를 이어 그린 선이다. 선 위의 어느 점에서나 그 점의 속도가 선에 접한다. 한 순간을 찍은 사진과 같다.
• 유적선은 입자 하나가 실제로 지나간 길이다. 입자에 작은 불을 달고 사진기의 셔터를 오래 열어 두면 찍힌다.
• 유맥선은 한 점을 지나간 입자들을 모두 이은 선이다. 굴뚝의 연기나 한 점에서 계속 흘려보낸 잉크가 그리는 선이 이것이다.

곁주석

이 실험의 흐름은 모든 점에서 속도가 같고 방향이 시간에 따라 흔들린다. 그래서 유선은 곧은 직선이다. 흔들림은 주기 3초의 사인파에 진동수가 두 배인 작은 파를 더한 모양이다. 순수한 사인파라면 흔들릴 때마다 한 번씩 유적선과 유맥선이 정확히 포개져서 둘이 같은 선처럼 보인다. 노란 입자는 6초마다 새로 출발한다.

흐름이 시간에 따라 변하지 않으면 세 선은 같다. 실험을 시작하면 하늘색 띠와 노란 선과 분홍색 점이 한 줄로 겹쳐 있다. 그런데 흐름의 방향이 위아래로 흔들리기 시작하면 셋이 갈라진다. 유선은 이 순간의 속도를 따라 곧게 뻗으므로 흐름과 함께 흔들린다. 유적선은 입자가 지나온 길이라서 한번 그려진 모양이 그대로 남는다. 유맥선은 연기와 같다. 이미 나온 점들은 흐름에 실려 통째로 떠내려가고, 출발점에서는 그 순간의 방향으로 새 점이 이어 나오므로 모양이 계속 바뀐다. ‘흔들림’을 키울수록 세 선이 더 크게 갈라진다.

유선을 흔히 입자가 지나가는 길이라고 설명한다. 흐름이 시간에 따라 변하지 않을 때는 맞는 말이지만, 흐름의 방향이 변하면 틀린 말이다. 유선은 한 순간의 속도를 이은 선이고, 입자는 그 선을 따라 아주 잠깐 가다가 다음 순간의 다른 유선으로 옮겨 탄다. 앞 실험의 출렁이는 관처럼 빠르기만 변하고 방향은 그대로인 흐름에서는 유선이 제자리에 있으므로, 입자도 계속 유선을 따라간다. 방향이 바뀌는 흐름을 찍은 사진 속 연기 줄기도 유선이 아니라 유맥선이다. 시뮬레이션 화면의 유선을 읽을 때도 이 점을 기억해 두자.

한 문장으로

입자를 따라가며 본 속도의 변화율 $\mat{D\mathbf{u}/Dt}$는 한 점에서 본 변화율 $\partial\mathbf{u}/\partial t$에 입자가 자리를 옮기며 겪는 변화율 $\adv{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}$를 더한 것이다.