점성

숟가락으로 꿀을 떠서 들어 올리면 꿀은 끊어지지 않고 길게 늘어진다. 꿀병을 기울여도 꿀은 한참을 버티다가 천천히 흘러내린다. 물은 금방 쏟아진다. 꿀 속에서는 한 곳이 움직이면 그 옆도 따라 끌려오고, 따라오는 옆은 움직이던 곳을 붙잡아 늦춘다. 이웃한 유체끼리 속도를 나눠 갖는 이 성질이 점성이다. 0장에서 점성을 올렸을 때 같은 젓기가 굵고 부드럽게 말리고 작은 소용돌이부터 빨리 잦아든 것도 이 때문이다. 이 장은 점성이 속도를 어떻게 나누는지 보고, 그 결과로 벽 가까이의 흐름과 관 속의 흐름이 어떤 모양이 되는지 본다. 방정식 막대에서 강조된 항이 점성이다.

이웃과 나누는 속도

아래 실험에서는 멈춘 유체 속을 가운데의 얇은 층 하나만 오른쪽으로 흐른다. 엔진의 항 가운데 점성 항 하나만 켰다. 처음 8초는 물이고, 그다음은 꿀이다. 흰 화살표는 왼쪽의 한 줄에서 잰 속도이고, 초록 점선은 아래에 적을 식이 말하는 분포다. ‘유체’로 물과 꿀을 바꿀 수 있다.

곁주석

이 실험은 점성 항만 켜고 외력, 이류, 압력 투영은 껐다. 이 층처럼 왼쪽에서 오른쪽까지 어디서나 같은 흐름에서는 이류와 압력이 아무것도 바꾸지 않아서, 점성이 하는 일만 남는다. 벽은 없다. 무대의 위아래 끝도 왼쪽과 오른쪽 끝처럼 서로 이어져 있다. 화면의 물과 꿀은 실제 값이 아니다. 물의 $\nu$는 0.00001, 꿀은 0.001로, 화면의 꿀은 물보다 100배 끈끈하다(무차원 값). 실제 꿀은 물보다 수천 배 끈끈해서(아래 ‘오해 둘’), 그 비율 그대로라면 몇 초 사이에 물에서는 아무 일도 보이지 않거나 꿀에서는 층이 한순간에 퍼져 버린다. WebGPU가 없는 브라우저에서는 녹화한 영상이 나오고, 영상에서는 유체를 바꿀 수 없다.

물에서는 8초가 지나도 층이 거의 그대로다. 꿀로 바꾸면 층이 위아래로 번진다. 가운데의 빠른 유체가 이웃 층을 끌어 빠르게 하고, 이웃 층은 가운데를 붙잡아 늦춘다. 그래서 층은 넓어지면서 느려진다. 꿀로 바꾸고 10초가 지나면 층의 폭은 처음의 네 배 가까이 되고, 가운데의 빠르기는 처음의 4분의 1쯤으로 준다. 그래도 층 전체가 오른쪽으로 실어 나르는 운동량은 그대로다. 빠른 층이 잃은 만큼 이웃 층이 얻는다. 점성은 운동량을 없애지 않고 옆으로 번지게 한다. 물에 떨어뜨린 잉크가 번지듯 운동량이 번지는 것, 곧 운동량의 확산이 점성이다. 이 실험에는 벽이 없다. 점성은 벽과의 마찰이 아니라 유체 안에서 이웃한 층끼리 주고받는 힘이다.

점성 항: 이웃의 평균으로 다가간다

속도 $u$가 높이 $y$에 따라서만 달라지는 층에서, 점성 항만 남긴 운동 방정식은 다음과 같다.

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \vis{\nu\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}$$

이차 도함수는 이웃과의 차이다. 간격 $h$만큼 위아래에 있는 두 이웃으로 적으면 다음과 같다.

$$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \approx \frac{u(y+h) + u(y-h) - 2u(y)}{h^2} = \frac{2}{h^2}\left(\frac{u(y+h) + u(y-h)}{2} - u(y)\right)$$

괄호 안은 이웃의 평균에서 자기 속도를 뺀 값이다. 자기 속도가 이웃의 평균보다 크면 이 값이 음수라서 느려지고, 작으면 양수라서 빨라진다. 모든 층이 이웃의 평균으로 다가가니 속도의 차이가 고르게 펴진다. 평면에서는 네 이웃을 보는 $\nabla^2$을 쓰고, 속도의 두 성분에 똑같이 적용한다. 이것이 나비에-스토크스 방정식의 점성 항이다.

$$\vis{\nu\nabla^2\mathbf{u}}$$

$\nu$는 동점성 계수다. 유체가 끈끈한 정도를 나타내는 점성 계수 $\mu$를 밀도 $\rho$로 나눈 값으로, 단위는 m²/s다. 이 장에서 점성의 크기라고 하면 이 $\nu$를 뜻한다. 속도의 차이가 번지는 빠르기를 정하는 것은 $\mu$가 아니라 $\nu$다. 이웃이 끄는 힘이 같아도, 밀도가 큰 유체일수록 그 힘에 덜 빨라지기 때문이다.

$$\nu = \frac{\mu}{\rho}$$

번지는 거리는 시간의 제곱근으로 자란다. 실험의 층은 폭(표준편차) $\sigma$가 다음처럼 넓어진다. 초록 점선이 이 식이다.

$$\sigma^2 = \sigma_0^2 + 2\nu t$$

거리가 $\sqrt{\nu t}$로 자라니, 폭이 $L$인 속도의 차이가 고르게 되는 데에는 대략 $L^2/\nu$의 시간이 걸린다. 폭이 두 배면 네 배 오래 걸리고, $\nu$가 100배면 100분의 1이면 된다. 화면의 꿀에서 층이 물보다 100배 빨리 넓어진 까닭이다.

곁주석

엔진은 점성 항을 음해법으로 푼다. 한 스텝 뒤의 속도를 미지수로 두고 칸마다 이웃과 맺은 식을 세워, Red-Black Gauss–Seidel 반복을 정해진 횟수만큼 돌린다. $\nu\,\Delta t/h^2$이 크면 정해진 횟수로는 덜 풀려서 속도가 실제보다 늦게 번진다. 이 실험의 격자는 기기와 상관없이 242×136이고, 꿀에서 이 값이 0.31이라서 스텝마다 20번이면 넉넉하다. 층의 분산이 늘어난 양은 $2\nu t$와 0.02% 안에서 맞았고, 분포는 가운데 빠르기의 0.3% 안에서 초록 점선과 맞았다. 작성자의 컴퓨터에서 잰 값이다.

벽에 붙는 물

1장과 2장의 관에서 물은 벽을 따라 미끄러졌다. 그 흐름은 정해 둔 식으로 그렸고, 실제 물은 벽에 붙어 멈춘다고 곁주석에 적었다. 고체의 면에 닿은 유체는 그 면과 같은 속도로 움직인다. 멈춘 벽에서는 멈추고, 움직이는 벽에서는 벽과 함께 간다. 이것을 미끄럼 없음 조건이라 한다. 식에서 끌어낸 것이 아니라 관찰한 사실이고, 보통의 액체와 기체가 일상의 크기로 흐를 때 잘 맞는다. 벽이 정하는 것은 벽에 닿은 유체 한 겹의 속도뿐이다. 그 너머로 속도를 나르는 것은 유체 안의 점성이다.

아래 실험에서는 멈춘 바닥과 위에서 오른쪽으로 미끄러지는 판 사이에 물이 있다. 흰 화살표와 초록 점선은 앞 실험과 같다. ‘판의 빠르기’로 판이 미끄러지는 빠르기와 방향을 바꿀 수 있다.

곁주석

움직이는 판은 엔진의 장애물이다. 무대 맨 위를 채운 사각형에, 닿은 유체에 주는 속도를 판의 빠르기로 정했다. 엔진은 장애물을 칸 단위로 셈하므로 판의 빠르기는 판의 가장 아래 칸 줄의 가운데, 높이 0.9007에 걸린다. 화면에 그린 판의 아랫면(0.9)보다 칸의 10분의 1쯤 위이고, 초록 점선은 이 높이를 판으로 쓴다. 이 실험도 점성 항만 켰다. 서로 미끄러지는 층에서는 다른 항이 아무것도 바꾸지 않는다. 이 틈의 물은 $\nu$가 0.03으로, 첫 실험의 물보다 3,000배 크다. 값이 무차원이라, 폭이 5mm쯤인 틈의 실제 물에서 같은 일이 같은 시간에 일어난다. 격자는 기기와 상관없이 242×136이고, 점성은 스텝마다 80번 반복해서 푼다. 흰 화살표는 초록 점선과 판 빠르기의 1% 남짓 안에서 맞았고, 오래 지나 곧은 선이 된 뒤에는 0.02% 안에서 맞았다. WebGPU가 없는 브라우저에서는 녹화한 영상이 나오고, 영상에서는 판의 빠르기를 바꿀 수 없다.

판이 움직이기 시작하면 판에 닿은 물이 먼저 따라가고, 그 아래 층이 끌려가고, 다시 그 아래가 끌려간다. 판의 운동량이 바닥 쪽으로 번진다. 10초쯤 지나면 판과 바닥 사이의 속도는 판의 빠르기에서 바닥의 0까지 곧은 선이 된다. 곧은 선은 어느 층에서나 이웃의 평균이 자기 속도와 같아서(이차 도함수가 0이다) 점성 항이 0이고, 흐름이 더는 바뀌지 않는다. 판은 물을 끌고 바닥은 물을 붙잡는데, 층마다 위층이 끄는 힘과 아래층이 붙잡는 힘이 같아진 것이다. 판의 빠르기를 $U$, 판과 바닥 사이의 간격을 $H$라 하면 다음과 같다.

$$u(y) = U\,\frac{y}{H}$$

곧은 선이 자리를 잡는 시간은 앞 절의 어림대로 $H^2/\nu$의 크기다. 이 실험에서 $H^2/\nu$는 27초다. 곧은 선과의 차이는 2.7초마다 3분의 1쯤으로 줄어, 10초가 지나면 처음의 3%쯤만 남는다. 이 2.7초는 $H^2/\nu$를 $\pi^2$으로 나눈 값이다. 어림은 시간의 크기를 알려 줄 뿐이고, 실제로 고르게 되는 시간은 대개 그보다 꽤 짧다. 판을 거꾸로 움직이면 판에 가까운 물부터 방향이 바뀌고, 바닥 가까이의 물은 한동안 그대로 앞으로 흐른다. 판을 멈추면 판과 바닥이 함께 물을 붙잡아, 물 전체가 서서히 멈춘다.

관 속의 포물선과 압력

이제 1장부터 3장까지 지나온 관으로 돌아가자. 아래 실험에서는 물이 왼쪽 끝에서 단면 어디서나 같은 빠르기로 들어와, 위아래 두 벽 사이를 지나 오른쪽 끝으로 나간다. 이번에는 물이 벽에 붙는다. 흰 화살표는 입구에서 멀리 떨어진 한 단면에서 잰 속도다. ‘점성’으로 물의 점성을 두 배로 할 수 있고, 마우스로 끌어(휴대폰에서는 손가락으로 쓸어) 물을 저어 볼 수도 있다.

곁주석

이 실험의 관은 평면 흐름이라 위아래 두 판 사이의 흐름이다. 둥근 관에서도 분포는 포물선이지만, 평균 속력이 가장 빠른 곳의 2분의 1이고(평판 사이는 3분의 2), 압력 차는 $32\mu\bar{u}L/D^2$이다($D$는 지름). 모든 항이 켜져 있다. 이 관의 물은 $\nu$가 0.02로 첫 실험의 물보다 2,000배 크고, 0.2의 빠르기로 들어오며, 관의 폭과 밀도는 1이다. 값이 무차원이라, 폭이 7mm쯤인 틈을 초속 1.4mm쯤으로 지나는 실제 물과 같은 흐름이다. 격자는 기기와 상관없이 240×135이고, 점성은 스텝마다 160번 반복해서 푼다($\nu\,\Delta t/h^2$이 6.1, 두 배면 12.2라서). 입구의 두 모서리는 고르게 들어오던 물이 벽에서 갑자기 멈추는 곳이라 압력이 크게 튀어, 압력 층에서 밝은 점으로 보인다. 흰 화살표를 잰 단면(x = 1.3)은 입구에서 충분히 멀어서, 흐름이 관을 따라 더는 바뀌지 않는다. 초록 점선은 그런 관에서 같은 유량으로 출발한 흐름의 해이고, 흰 화살표와 0.5초 뒤부터 1% 안에서 맞았다. WebGPU가 없는 브라우저에서는 녹화한 영상이 나오고, 영상에서는 점성을 바꾸거나 저을 수 없다.

들어온 물은 처음에 단면 어디서나 같은 빠르기로 흐른다. 벽에 닿은 물이 멈추고 이웃을 늦추면, 같은 시간에 같은 양이 지나가야 하므로(2장) 늦춰진 만큼 가운데가 빨라진다. 흰 화살표의 단면에서는 2초쯤 만에 분포가 포물선이 된다. 이 관의 $H^2/\nu$는 50초이니 어림보다 훨씬 빠르다. 포물선과의 차이는 0.6초마다 3분의 1쯤으로 준다($H^2/\nu$를 80쯤으로 나눈 값). 속력 층을 보면, 입구에서 고르던 빠르기가 관을 따라가며 가운데로 모인다. 흐름이 자리를 잡아 시간에 따라서도, 관을 따라서도 더는 바뀌지 않는 곳에서는 운동 방정식에 압력과 점성만 남는다.

$$0 = \prs{-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}} + \vis{\nu\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}}$$

속도는 높이에 따라서만, 압력은 관을 따라서만 바뀌므로 두 항은 각각 상수여야 한다. 이차 도함수가 상수인 분포는 포물선이다. 벽($y = 0$과 $y = H$)에서 0이고 평균 속력이 $\bar{u}$인 포물선은 다음과 같다. 가장 빠른 가운데는 평균의 1.5배다.

$$u(y) = \frac{6\bar{u}}{H^2}\,y\,(H - y)$$

이 분포를 밀어 보내려면 압력이 관을 따라 고르게 내려가야 한다. 점성이 벽에서 물을 붙잡으니, 그만큼을 압력 차가 늘 밀어 주어야 한다. 위의 두 식에서 압력의 기울기가 나온다.

$$\frac{\partial p}{\partial x} = \mu\,\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{12\,\mu\,\bar{u}}{H^2}$$

길이 $L$인 관이면 압력 차는 $12\mu\bar{u}L/H^2$이다. 관이 길수록, 평균 속력이 클수록, 점성이 클수록 크고, 관의 폭의 제곱에 반비례한다. 압력 층을 켜면 왼쪽이 높고(주황) 오른쪽으로 가며 고르게 낮아진다. 실험이 잰 기울기는 −0.0485로, 식의 −0.048과 1% 안에서 맞는다. 점성을 두 배로 하면 압력 차도 두 배가 되지만(잰 기울기 −0.0955, 식 −0.096), 같은 유량이므로 포물선은 그대로다.

3장에서 남긴 약속이 이것이다. 폭이 일정한 긴 관에서, 흐름이 다 자란 곳의 물은 어느 높이에서나 관을 따라 빠르기가 바뀌지 않는데 압력은 관을 따라 내려간다. 같은 유선 위에서 빠르기가 같으니 베르누이 식대로라면 압력도 같아야 하지만, 이 흐름은 비점성이라는 조건을 깬다. 압력 차가 물에 하는 일은 운동 에너지로 쌓이지 않고 점성을 거쳐 열이 된다. 3장의 벤투리 압력계는 점성을 뺀 관계라 목을 지난 압력이 처음 높이로 돌아왔지만, 3장 끝에서 말했듯 실제 벤투리관에서는 처음만큼 돌아오지 않는다. 그 모자란 만큼이 점성으로 잃는 이 몫이다. 수도관에 물을 보내려고 펌프가 계속 도는 까닭이기도 하다.

오해 둘

꿀이 끈끈한 것은 무거워서가 아니다. 점성과 밀도는 다른 양이다. 실온에서 꿀의 점성 계수 $\mu$는 물의 2,000배에서 10,000배쯤이고, 밀도는 물의 1.4배쯤이라서, $\nu$로 따지면 물의 1,400배에서 7,000배쯤이다(꿀의 수분과 온도에 따라 크게 다르다). 반대로 수은은 물보다 13.6배 무겁지만 점성 계수는 1.7배쯤이고, $\nu$는 물의 8분의 1쯤이다. 무거운 유체가 끈끈한 것이 아니다.

점성을 벽과의 마찰로 여기는 것도 오해다. 첫째 실험에는 벽이 없었는데도 속도의 차이가 번졌다. 벽은 닿은 유체 한 겹의 속도를 정할 뿐이고, 그 너머로 속도를 나르는 것은 유체 안의 점성이다. 벽 가까이에서 물이 느린 것은 벽이 물을 문질러서가 아니라, 멈춘 한 겹이 이웃을 늦추고 그 이웃이 또 이웃을 늦추기 때문이다.

이 장의 흐름은 모두 점성이 모양을 정한 흐름이었다. 앞의 두 실험은 점성 항만 켰고, 관의 흐름은 느렸다. 빠른 흐름에서는 흐름이 제 운동량을 실어 나르는 일(관성)이 점성보다 클 수 있다. 둘 가운데 어느 쪽이 흐름을 정하는지 견주는 일은 5장에서 한다.

한 문장으로

점성 항 $\vis{\nu\nabla^2\mathbf{u}}$는 이웃한 유체끼리 속도를 고르게 나누어 속도의 차이를 퍼뜨리는 힘이고, 벽에 붙어 멈춘 유체가 이 나눔으로 이웃을 늦추므로 관 속의 흐름은 포물선이 되고 그 흐름을 밀려면 압력이 관을 따라 내려가야 한다.