관성

카누의 노를 한 번 힘껏 저었다가 들어 올리면, 노가 지나간 자리의 수면에 작은 소용돌이 두 개가 생긴다. 두 소용돌이는 서로 반대로 돌면서 노가 물을 민 쪽으로 나란히 미끄러져 간다. 노는 이미 물 밖에 있는데도 그렇다. 담배 연기나 수증기로 만든 고리가 한참을 날아가는 것도 같은 일이다. 움직이는 물은 밀어 주는 것이 없어도 계속 움직이려 하고(관성), 그렇게 움직이는 물이 제 움직임을 다른 곳으로 실어 나른다. 0장에서 젓기를 멈춘 뒤에도 물이 한동안 움직인 것이 이 때문이다. 이 장은 방정식에 남은 마지막 항, 흐름이 자기 자신을 실어 나르는 항을 다룬다. 방정식 막대에서 강조된 항이다.

실려 가는 속도

1장에서 물 한 덩어리를 따라가며 본 가속도 $\mat{D\mathbf{u}/Dt}$는 두 몫의 합이었다. 한 점에서 지켜본 변화 $\partial\mathbf{u}/\partial t$와, 덩어리가 속도가 다른 곳으로 자리를 옮기며 겪는 변화다.

$$\mat{\frac{D\mathbf{u}}{Dt}} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \adv{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}$$

압력도 점성도 바깥 힘도 없다면 덩어리를 미는 것이 없으니 덩어리는 제 속도를 그대로 지닌 채 간다. 왼쪽이 0이다. 그런데 한 점에 서서 보면 그 자리의 속도는 바뀐다. 속도가 다른 덩어리가 흘러들어 오기 때문이다.

$$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = -\adv{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}$$

흐름이 속도를 실어 날라, 저쪽에 있던 속도가 이쪽으로 온다. 이것이 이류 항이 하는 일이다. 이 항에는 속도가 두 번 들어 있다. 실어 나르는 것도 속도이고, 실려 가는 것도 속도다. 그래서 1장에서 말했듯 이 항은 비선형이다. 흐름이 제 모양을 바꾸어 가며 스스로를 실어 나를 수 있는 것은 이 때문이다.

아래 실험에는 서로 반대로 도는 소용돌이 한 쌍이 있다. 위의 것은 시계 반대 방향, 아래 것은 시계 방향으로 돈다. 금색 잉크가 두 소용돌이를 표시하고, 점은 흐름에 실려 가는 입자다. ‘이류 항’으로 이 항을 끄고 켤 수 있다.

곁주석

1장은 5장에서 이 항만 켜 놓고 살펴본다고 했다. 정확히는 압력 투영도 켜 두었다. 투영이 없으면 물이 한곳에 몰리고 다른 곳이 비는, 2장의 투영을 끈 실험 같은 가짜 유체가 된다. 압력은 물이 압축되지 않도록 지키는 몫만 하고, 소용돌이의 무늬를 옮기는 것은 이류 항뿐이다. 점성은 0이고 바깥 힘도 꺼서, 이 실험에서는 저을 수 없다. 무대의 왼쪽과 오른쪽 끝은 이어져 있어서 오른쪽으로 나간 쌍은 왼쪽에서 다시 들어온다. 위아래는 미끄러운 벽이고 소용돌이에서 0.4 떨어져 있다. 소용돌이 하나의 순환은 0.1, 두 중심 사이는 0.2다(무차원 값). WebGPU가 없는 브라우저에서는 녹화한 영상이 나오고, 영상에서는 이류 항을 끄고 켤 수 없다.

미는 것이 없는데도 쌍은 오른쪽으로 나아간다. 두 소용돌이 사이의 물은 위의 것에 끌려서도, 아래 것에 끌려서도 오른쪽으로 흐른다. 그 흐름이 각 소용돌이를 실어 간다. 위의 소용돌이는 아래 것이 만든 흐름에, 아래 것은 위의 것이 만든 흐름에 실려 함께 간다.

소용돌이의 세기는 순환 $\Gamma$로 잰다. 소용돌이를 둘러싼 원 위에서 물이 도는 빠르기에 그 원의 둘레를 곱한 값이다(원 위에서 빠르기가 다르면 그 평균을 쓴다). 소용돌이를 크기가 없는 점으로 보면 그 둘레의 어느 원에서나 순환이 같으므로, 거리 $r$인 곳의 물은 $\Gamma/(2\pi r)$의 빠르기로 돈다. 거리 $d$만큼 떨어진 두 소용돌이는 저마다 상대가 만든 이 빠르기에 실려 가므로, 쌍은 다음 빠르기로 나아간다.

$$V = \frac{\Gamma}{2\pi d}$$

이 실험에서는 0.08이다. 화면의 쌍은 이보다 느려서, 1초에서 4초 사이에 1초에 0.06쯤 나아간다. 이 어림의 4분의 3쯤이다. 위아래의 벽이 쌍을 늦추고, 엔진의 계산이 소용돌이를 퍼뜨려 더 늦춘다(곁주석). 이류 항을 끄면 쌍은 그 자리에 멈춘다. 그래도 잉크와 입자는 멈추지 않는다. 두 소용돌이 사이로 물이 계속 흘러 지나가고, 잉크는 소용돌이에 감겨 들며 점점 길게 늘어난다. 속도의 무늬는 제자리에 있고 물만 그 사이를 흐른다. 무늬를 옮기던 것, 곧 흐름이 자기 속도를 실어 나르던 일이 꺼진 것이다. 다시 켜면 쌍은 다시 나아간다. 3차원에서는 같은 일이 고리 모양으로 일어난다. 연기 고리가 스스로 날아가는 까닭이다.

곁주석

점성을 0으로 두었는데도 쌍은 어림보다 느리고, 갈수록 더 느려진다. 까닭은 둘이다. 하나는 위아래 벽이다. 물이 벽을 뚫고 흐를 수 없어서, 벽 너머에 거꾸로 도는 거울상 소용돌이가 있는 것과 같은 흐름이 쌍을 뒤로 민다. 이 벽 사이에서는 점 소용돌이 쌍도 $\Gamma/(2\pi d)$의 0.87배로 간다(소용돌이의 크기는 0.4%만 늦춘다). 다른 하나는 엔진이 한 스텝을 몇 단계로 나누어 계산하는 방식이다. 엔진은 먼저 속도를 흐름을 따라 옮기고(이류 단계) 그다음 압력으로 고친다. 실제 물에서는 압력이 도는 물의 방향을 쉬지 않고 꺾어 원을 따라 돌게 하지만, 이류 단계는 속도를 방향 그대로 옮긴다. 그래서 한 스텝이 끝날 때 소용돌이 안의 속도는 조금 바깥쪽으로 기울어 있고, 압력 단계가 그 바깥쪽 몫을 지우면서 도는 빠르기도 조금 깎인다. 빨리 도는 가운데가 가장 많이 깎이므로, 스텝마다 쌓이는 이 수치 오차는 소용돌이를 퍼뜨린다. 한 스텝의 시간이 길수록 오차가 크고, 격자를 촘촘히 해도 거의 줄지 않는다. 점성이 없는 흐름이라면 그대로 남아야 할 소용돌이 하나를 따로 놓으면, 이류 단계를 켰을 때 가운데의 세기가 9초 만에 절반이 되고 끄면 그대로다. 순환이 절반이라 더 느리게 도는 소용돌이는 같은 9초에 가운데 세기의 4분의 1쯤만 잃는다. 쌍에서도 이류 항이 켜져 있던 12초 동안 순환은 5%만 줄었는데 가운데의 세기는 절반쯤이 되었고, 그렇게 퍼진 쌍은 느려진다. 1초에서 4초 사이에 어림의 0.74배였고, 다시 켠 뒤에는 처음보다 15%쯤 느렸다(끈 동안에는 아무것도 바뀌지 않는다). 작성자의 컴퓨터에서 480×270 격자로 잰 값이고, 휴대폰의 242×136 격자에서도 빠르기는 거의 같았다(0.73배).

관성과 점성의 겨루기: 레이놀즈 수

흐름이 자기를 실어 나르는 이류 항과, 이웃과 속도를 고르게 나누는 점성 항(4장) 가운데 어느 쪽이 큰지가 흐름의 모양을 크게 바꾼다. 둘의 크기를 어림해 보자. 흐름의 대표 빠르기를 $U$, 속도가 크게 바뀌는 거리를 $L$이라 하면, 속도의 기울기는 $U/L$쯤이고 그 기울기의 기울기는 $U/L^2$쯤이다.

$$\left|\adv{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}\right| \sim \frac{U^2}{L}$$ $$\left|\vis{\nu\nabla^2\mathbf{u}}\right| \sim \frac{\nu U}{L^2}$$

둘의 비가 레이놀즈 수다.

$$\mathrm{Re} = \frac{U^2/L}{\nu U/L^2} = \frac{UL}{\nu}$$

레이놀즈 수가 크면 관성이, 작으면 점성이 흐름을 정한다. 정확한 값이 아니라 크기의 어림이고, $U$와 $L$을 무엇으로 고르는지에 따라 값이 달라진다. 그래서 레이놀즈 수를 말할 때는 어떤 빠르기와 어떤 길이를 썼는지 함께 말해야 한다. 원기둥이라면 다가오는 물의 빠르기와 원기둥의 지름을 쓴다. 4장의 관 흐름을 평균 빠르기 0.2와 관의 폭 1로 재면, $\nu$가 0.02이니 Re는 10이다. 점성이 모양을 정하는 흐름이다. 크기가 달라도 모양이 같은 물체가 같은 레이놀즈 수의 흐름 속에 있으면 흐름도 같은 모양이 된다. 바람 터널에서 작은 모형으로 실제 비행기를 시험할 수 있는 까닭이다. 아래 실험은 빠르기와 지름은 그대로 두고 $\nu$만 바꾸어 레이놀즈 수를 1, 40, 150, 1000으로 올린다. ‘레이놀즈 수’로 단을 고를 수 있고, 마우스로 끌어(휴대폰에서는 손가락으로 쓸어) 물을 저어 볼 수도 있다.

곁주석

값은 모두 무차원이다. 물은 왼쪽 끝에서 0.5의 빠르기 $U$로 들어오고, 원기둥의 지름 $D$는 0.1이다. 단마다의 점성은 $\nu = UD/\mathrm{Re}$로 정한다. 위아래는 미끄러운 벽이고, 원기둥은 관 폭의 10분의 1을 가린다. 격자는 기기와 상관없이 240×135이고 지름이 13.5칸이다. Re 1에서는 $\nu$가 커서 $\nu\,\Delta t/h^2$이 15.2이므로 점성을 스텝마다 160번 반복해서 푼다(Re 40부터는 20번). 그 한 스텝의 답은 3,000번 반복한 답과 $U$의 0.011% 안에서 같았다. 원기둥은 무대 가운데보다 0.002 위에 있다. 완전히 가운데에 놓으면 Re 150으로 올린 뒤에도 뒤의 흐름이 10초 넘게 거의 대칭으로 남는데, 실제 흐름에서는 작은 흔들림이 곧바로 대칭을 깬다. 흐름은 처음 두 단에서 유선으로, 뒤의 두 단에서 ‘와도’ 층으로 보인다. 와도는 물이 그 자리에서 도는 빠르기와 방향을 나타내고, 주황은 시계 반대, 하늘색은 시계 방향으로 도는 물이다. WebGPU가 없는 브라우저에서는 녹화한 영상이 나오고, 영상에서는 단을 고르거나 저을 수 없다.

Re 1에서는 점성이 이긴다. 흐름은 원기둥에 붙은 채 감싸고 지나가 뒤에서 다시 모인다. 거꾸로 흐르는 곳은 없다. 다만 앞과 뒤가 똑같지는 않다. 느려진 물이 뒤로 길게 꼬리를 끌어, 가운데 줄에서 빠르기가 $U$의 90%보다 느린 곳이 앞쪽으로는 지름의 2.4배, 뒤쪽으로는 7.1배까지 이어진다. 관성이 아직 조금 남아 있는 것이다. 앞쪽이 이만큼 짧은 데에는 물이 $U$로 들어오는 입구가 원기둥 앞 지름 4배 거리에 있는 것도 한몫한다.

곁주석

관성을 아예 없앤 흐름(스토크스 흐름)은 앞뒤가 꼭 같지만, 평면에서는 원기둥을 지나는 그런 흐름을 풀 수 없다. 원기둥의 영향이 끝없이 멀리 미치기 때문이고, 이것을 스토크스 역설이라 한다. 실제로는 멀리 가면 아무리 작은 Re에서도 관성이 점성과 겨루게 되어 역설이 풀린다. 그래도 영향이 멀리까지 미치므로 Re 1의 흐름은 위아래 벽에도 닿는다. 이 무대에서는 벽이 원기둥의 중심에서 지름의 5배 거리에, 입구가 원기둥 앞 지름 4배 거리에 있으니, 벽과 입구가 없는 흐름과 꼭 같지는 않다.

Re 40에서는 흐름이 원기둥의 뒤쪽 옆에서 떨어져 나간다. 뒤에는 바깥의 물이 들어가지 못하는 주머니가 생기고, 그 안에서 물이 위아래 두 소용돌이로 나뉘어 제자리에서 돈다. 단을 올린 지 2초쯤 만에 주머니가 자리를 잡고, 그 뒤로는 거의 바뀌지 않는다. 흐름이 원기둥에서 떨어지는 것은 Re가 5에서 7쯤일 때부터이고, 이 두 소용돌이는 Re가 47쯤이 될 때까지 제자리에 머문다. 주머니의 길이는 Re와 함께 자라서, 벽이 없는 흐름의 Re 40에서는 원기둥 뒤로 지름의 2.2배에서 2.3배쯤이다. 이 실험에서는 2.1배였다. 가까운 벽과 거친 격자 때문에 조금 짧게 나온 것으로 보인다. 화면에서 유선과 입자가 비어 어둡게 보이는 꼬리는 그보다 훨씬 길다. 주머니 뒤에서도 물이 한동안 느리게 흐르기 때문이고, 거꾸로 흐르는 것은 원기둥 바로 뒤의 지름 2.1배까지뿐이다.

Re 150에서는 주머니가 길게 늘어지다가 흔들리기 시작하고, 몇 초 뒤에는 위와 아래에서 번갈아 소용돌이가 떨어져 나간다. 떨어져 나간 소용돌이는 두 줄로 엇갈려 흘러간다. 카르만 소용돌이 길이다. 오른쪽 위 그래프는 원기둥 뒤 한 점에서 잰 세로 빠르기이고, 위와 아래에서 떨어진 소용돌이가 한 쌍 지날 때마다 한 번 오르내린다. 1초에 오르내리는 횟수 $f$를 지름과 빠르기로 묶은 수가 스트로할 수다.

$$\mathrm{St} = \frac{fD}{U}$$

이 실험에서는 0.177이었다. 실제 흐름에서 잰 값은 Re 150에서 0.18쯤이다. 조금 다른 데에는 가까운 벽과 거친 격자, 그리고 점성을 조금 더한 것처럼 작용하는 엔진의 수치 오차(한 스텝을 단계로 나누어 푸는 데서 오는 오차와 보간의 번짐, 부록)가 함께 얽혀 있다. 엔진을 검증할 때는 더 촘촘한 격자(480×270)의 Re 100에서 0.179로, 그 Re에서 실제로 잰 값 0.164쯤보다 9% 높았다. 벽이 가까우면 스트로할 수가 오르고, 수치 오차가 흐름을 Re가 더 작은 것처럼 만들면 내려간다. 이 실험이 둘을 따로 재지는 않았다.

Re 1000에서는 소용돌이가 원기둥에 더 가까이에서 더 단단히 말리고, 또렷한 덩어리로 흘러간다. 화면의 흐름은 여전히 고른 소용돌이 길이고, 스트로할 수는 0.196이었다. 실제 물에서 Re 1000의 원기둥 뒤는 이렇지 않다. 실제 흐름은 Re가 190쯤만 넘어도 원기둥을 따라 3차원으로 비틀리기 시작하고, Re 1000에서는 소용돌이가 계속 떨어져 나가는 가운데 그 뒤가 난류다. 스트로할 수는 0.2쯤이다. 이 엔진은 2차원이라 그 비틀림을 담을 수 없고, 격자도 성겨서 원기둥에서 떨어져 나가는 얇은 층을 제대로 그려 내지 못한다. 화면의 Re 1000은 난류가 아니다. 점성이 줄면 떨어져 나가는 층이 얇아지고 소용돌이가 원기둥 가까이에서 말린다는 것까지만 보여 준다.

레이놀즈 수의 경계는 모양마다 다르다. 원기둥의 47이나 190은 원기둥의 값이다. 둥근 관 속의 흐름이 난류로 바뀌는 것은 평균 빠르기와 관의 지름으로 잰 Re가 2,000쯤일 때이고, 이것은 다른 모양, 다른 레이놀즈 수다. 레이놀즈 수의 경계를 말할 때는 언제나 어떤 모양의 흐름인지를 함께 말해야 한다.

미끄러지는 두 층

하늘에서는 빠른 바람이 느린 공기 위로 미끄러지는 곳에서 구름이 바다의 파도처럼 줄지어 말리기도 한다. 서로 다른 빠르기로 미끄러지는 두 층의 경계는, 무엇이 붙잡아 주지 않으면 평평하게 머물지 못한다. 4장 첫 실험에서도 가운데 층의 위아래 경계에서 빠른 물이 멈춘 물 위로 미끄러졌다. 그 층은 왼쪽에서 오른쪽까지 어디서나 같아서 이류 항이 할 일이 없었고(4장은 이 항을 꺼 두기도 했다), 층은 점성으로 퍼지기만 했다. 아래 실험에서는 위층이 오른쪽으로, 아래층이 왼쪽으로 미끄러지고, 둘의 경계에 아주 작은 물결이 얹혀 있다. 이번에는 바깥 힘 말고는 모든 항이 켜져 있다. 금색 잉크가 아래층을 표시한다. ‘유체’로 물과 꿀을 고를 수 있다.

곁주석

두 층의 빠르기는 0.2와 −0.2이고, 그 사이의 속도는 반두께 $\delta$가 0.03인 tanh 곡선으로 바뀐다. 처음 경계에는 아주 작은 물결을 얹었다. 무대 폭에 네 번 오르내리는 물결이 세로 빠르기 0.003이고, 다른 물결 몇 개를 그 0.3배 아래의 크기로 정해진 난수로 섞었다. 물과 꿀의 $\nu$는 4장 첫 실험과 같은 0.00001과 0.001이다. 빠르기 차의 절반과 반두께로 잰 이 층의 Re는 물에서 600, 꿀에서 6이다. 바깥 힘을 꺼서 저을 수는 없다. ‘유체’를 고를 때마다 두 층은 같은 물결에서 다시 시작한다. 무대의 왼쪽과 오른쪽 끝은 이어져 있고, 위아래는 미끄러운 벽이다. WebGPU가 없는 브라우저에서는 녹화한 영상이 나오고, 영상에서는 유체를 바꿀 수 없다.

물에서는 경계의 물결이 저절로 자란다. 경계가 위로 솟은 곳은 위층의 흐름에, 아래로 처진 곳은 아래층의 흐름에 실려 서로 반대쪽으로 끌려간다. 물결은 그렇게 기울면서 높아지고, 3초쯤이면 꼭대기가 넘어가며 말린다. 물결이 낮은 동안에는 일정한 시간마다 같은 배수로 커진다. 이 실험의 물결은 한번 자라기 시작하면 1초에 3배쯤씩 커졌고, 높아지면서 자라기가 느려져 5초에는 처음의 41배가 되었다. 그때 경계는 소용돌이 네 개로 말려 있다. 처음 얹은 물결이 무대 폭에 오르내린 횟수와 같다. 조금 더 지나면 이웃한 소용돌이끼리 서로를 감고 돌다가 하나로 합쳐져, 12초쯤에는 둘이 된다. 이렇게 서로 다른 빠르기로 미끄러지는 층이 말려 올라가는 것을 켈빈-헬름홀츠 불안정이라 한다.

물결이라고 다 같이 자라지는 않는다. 이 실험의 두 층에 크기가 같은 물결 열두 개를 함께 얹어 재 보면, 길이가 층 반두께의 15배에서 20배쯤인 물결이 가장 빨리 자라고, 8배보다 짧은 물결은 오히려 줄어든다. 점성이 없는 tanh 층의 이론은 가장 빨리 자라는 물결의 길이를 반두께의 14배쯤으로, 그보다 짧으면 자라지 않는 한계를 $2\pi$배로 준다. 이 실험에 얹은 물결은 그 길이에 가까운데, 이론이 말하는 빠르기의 86%로 자랐다. 또 $2\pi$배보다 조금 긴 물결도 줄어들었다. 그 차이를 무엇이 만드는지는 이 실험에서 가려내지 않았다. 점성만으로는 설명되지 않는다. 물의 점성은 그만큼 빨리 물결을 누르기에는 너무 작다. 가장 빨리 자라는 물결의 길이가 층의 두께에 비례하니, 층이 얇을수록 말리는 소용돌이도 작고 촘촘해진다.

꿀에서는 같은 물결이 자라지 않는다. 점성이 경계의 속도 차를 빨리 고르게 해서 층이 두꺼워지고, 얹어 놓은 물결은 오히려 줄어 사라진다. 8초가 지나도 경계는 두꺼워지며 번질 뿐 말리지 않는다. 같은 두 층이라도 Re가 600이면 말리고, 6이면 이 시간 안에는 말리지 않는다. 관성과 점성의 겨루기가 여기서도 흐름의 모양을 정한다.

오해 하나

“난류는 그냥 무작위다”라는 말이 있다. 난류는 예측하기 어렵고 시시각각 바뀌지만 아무렇게나 움직이는 것이 아니다. 그 안에는 크고 작은 소용돌이가 겹겹이 있고, 3차원의 난류에서는 큰 소용돌이가 작은 소용돌이를 낳으며 에너지를 넘겨준다. 평면 흐름에서는 거꾸로 이웃한 소용돌이가 합쳐지며 커지는데, 미끄러지는 두 층의 소용돌이가 넷에서 둘이 된 것이 그 예다. 이런 짝짓기가 평면에만 있는 것은 아니어서, 빠르기가 다른 두 흐름이 만나 섞이는 실제 혼합층에서도 큰 소용돌이가 이웃끼리 짝지어 합쳐지며 자란다. 두 기체 흐름 사이의 혼합층이 난류일 때에도, 이 장의 셋째 실험처럼 말려 올라간 큰 소용돌이 줄이 또렷이 보인다는 것이 1970년대의 실험으로 알려졌다. 이 장의 화면은 난류가 아니다. 다만 난류로 가는 길목에서 흐름이 저절로 만드는 구조, 곧 말려 올라가는 층과 번갈아 떨어져 나가는 소용돌이를 보여 준다. 그런 구조를 만드는 것이 흐름이 자기를 실어 나르는 이류 항이다.

이로써 방정식의 항이 모두 모였다. 6장의 종합 실험실에서는 모든 항을 켜고 끄며 직접 흐름을 만들어 본다.

한 문장으로

이류 항 $\adv{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}$는 흐름이 자기 속도를 스스로 실어 나르는 일이고, 이 항과 점성 항의 크기를 견준 레이놀즈 수 $UL/\nu$가 크면 소용돌이 쌍이 스스로 나아가고 원기둥 뒤에서 소용돌이가 떨어져 나가며 미끄러지는 층이 말려 오르는, 관성이 모양을 정하는 흐름이 된다.