흐름 지도

시냇물에 나뭇잎을 띄우면 나뭇잎은 물을 따라 떠내려간다. 바람이 불어 물이 흐르는 방향이 자꾸 바뀌면, 나뭇잎은 이리저리 구불구불한 길을 간다.

아래 실험에서 물은 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르고, 왼쪽의 작은 원에서 잉크가 계속 나온다. 실험에서는 나뭇잎 대신 작은 알갱이 하나를 따라간다. 처음 몇 초는 물이 늘 똑같이 흐르고, 그다음에는 물이 가는 방향이 위아래로 흔들린다.

실험을 본 뒤에는 아래 ‘흔들림’ 막대를 끌어 흔들림을 키우거나 줄이면서, 세 가지가 얼마나 갈라지는지 살펴보자.

화면에는 세 가지가 그려진다. 하늘색은 ‘물이 가는 방향’, 노란색은 ‘알갱이가 지나온 길’, 분홍 점들은 ‘잉크 줄기’다. 처음에는 셋이 한 줄로 겹치다가, 방향이 흔들리기 시작하면 갈라진다.

‘물이 가는 방향’은 지금 이 순간의 방향이라서, 방향이 바뀌면 곧바로 따라 돈다. ‘알갱이가 지나온 길’은 알갱이 하나가 지나온 자리이고, 알갱이는 6초마다 잉크 원에서 새로 출발한다. ‘잉크 줄기’는 잉크 원을 지나간 여러 알갱이가 지금 있는 자리라서, 알갱이 하나가 지나온 길과도 다르다.

물속 어느 점에서나 물은 어느 쪽으로, 얼마나 빨리 움직인다. 모든 점에 물이 가는 쪽으로 화살표를 붙이고, 빠른 곳은 길게, 느린 곳은 짧게 그리면(멈춘 곳은 빠르기가 0이다) 그것이 흐름 지도다. 실험 창의 연한 화살표는 그중 방향만 보여 준다.

알갱이는 어느 순간이든 그 순간 자기가 있는 곳의 화살표를 따라간다. 그래서 순간마다 바뀌는 지도를 모두 알면 알갱이가 어디로 갈지 알 수 있다. 방향이 바뀌는 흐름에서는 알갱이가 그때그때 다른 화살표를 따라갔으므로, 지나온 길이 지금 물이 가는 방향과 다르다.

실제로는

이 실험의 흐름은 물의 움직임을 계산한 것이 아니라, 정해 둔 규칙대로 그린 것이다. 어느 순간이든 모든 곳의 물이 똑같이 움직이고, 오른쪽으로 가면서 위아래로만 흔들린다. 실제 강물은 곳마다 방향과 빠르기가 다르다.

더 알고 싶다면

과학자는 흐름 지도를 $\mathbf{u}(x, y, t)$처럼 쓴다. 자리를 나타내는 x, y와 때를 나타내는 t를 넣으면, 그곳 그때의 화살표가 나온다는 뜻이다.

이유를 한 문장으로

물속 어디에나 물이 가는 방향이 있어 흐름 지도를 이루고, 그 방향이 바뀌면 알갱이가 지나온 길은 지금 물이 가는 방향과 달라진다.